Calcul de la probabilité d'obtenir une femelle sur X graines

[Fatmike]

Bon encore un petit truc d'Overgrow, celui-ci est vraiment mathématique et son utilité est discutable, mais perso je trouve ça intéressant, je ne serais peut-être pas le seul... C'est parti:

Quelle est la probabilité d'obtenir une femelle sur X graines?

Supposons qu'une expérience n'a que deux issues possibles. Celle-ci dépend donc de la loi de Bernouilli (NdT: loi des variables aléatoires binaires).
Si P est la probabilité de succès, et q la probabilité d'échec, alors P+q=1.

De nombreux problèmes peuvent être résolus en déterminant la probabilité de k succès sur n expériences de Bernouilli.
Ce que nous désirons savoir est la probabilité d'un succès (une femelle) sur un certain nombre d'expérience (les graines).

Probabilité de k succès sur n expériences de Bernouilli indépendantes avec succès = P et échec = q = 1-P

Nous utiliserons un ratio de succès/échec de 50/50, donc P=0,5 et q=0,5

Probabilité de k succès = C(n,k) X p^k X q^(n-k)

avec:
C(n,k) = n!/k!(n-k)!

et n! signifiant "factorielle de n"
par exemple 6! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1
3! = 3 X 2 X 1

La probabilité d'1 succès sur 6 graines est de 9,3%
La probabilité de 2 succès sur 6 graines est de 23,4%
La probabilité de 3 succès sur 6 graines est de 31,25%
La probabilité de 4 succès sur 6 graines est de 23,4%
La probabilité de 5 succès sur 6 graines est de 9,3%
La probabilité de 6 succès sur 6 graines est de 1,563%

La somme de toutes ces probabilités donne la probabilité d'avoir au moins une femelle sur 6 graines avec un ratio mâle/femelle de 50% soit 98%.

Il est facile d'obtenir cela par une autre voie: simplement en calculant la probabilité d'échec; c'est la probabilité de 0 succès que l'on soustrait à 1.

La probabilité de 0 succès sur 6 graines est de 1,563%, donc la probabilité d'avoir au moins un succès est de 98,43%

Donc l'équation finale dont nous avons besoin est:
1 - C(n,0) X p^0 X q^(n-0)

Probabilité d'avoir au moins une femelle:
Sur 1 graine: 50%
Sur 2 graines: 75%
Sur 3 graines: 87,5%
Sur 4 graines: 93,75%
Sur 5 graines: 96,875%
Sur 6 graines: 98,43%

Cet exemple utilise un ratio mâle/femelle de 50/50, mais la loi de Bernouilli permet d'utiliser d'autres valeurs pour P et q pour des ratio mâle/femelle différents comme 60/40. Vérifiez juste que P+q=1, à savoir que la probabilité d'échec ou de succès soit de 100%.

Source: http://www.overgrow.com
Auteur: The White Rabbit
Traduction: FatMike